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Nous allons démontrer, dans ce chapitre III. la généralisation 
suivante : 
Soit a un nombre complexe et 8 > 0. U existe un t 0 = t 0 (a, 8) 
tel que, pour tout t > t 0 , la fonction Ç.( s ) prend la valeur a dans 
le cercle 
m S 
Nous démontrerons même, ce qui dit davantage, le 
TBiéorcme : Soit A > 0 et 8 > 0. Il existe un — t 1 (A, 8) 
tel que, pour tout t a.ti, la fonction Ç (s) prend toute valeur a 
de module < A t/cms /e cerc/e 
(48) 
g 8. 
Nous commençons par deux lemmes. 
Leninie S : e > 0 et o- i 
pour - suffisamment grand (*), 
wfeaWiC?) = 
on a, pour t croissant, 
> ô + e fixes. Alors, en posant, 
Max. Is'OOL 
|S-r(ffl+Ti)I^S 
— < T 0(i) . 
m, 
: M. Hadamard ( 2 ) a démontré que : Soit 
0 < ?\ <r 2 < r 3 . Soit F(z) régulier pour |z — z 0 1 < r 3 , continu 
pour | 2 — z 0 1 g r 3 et non identiquement nul. Soient M 1? M 2 , M 3 
les maxima de |F(z)| sur les cercles |z — z 0 \ = r i , r 2 , i\. 
Alors 
(49) 
M 
log 
r s 
r 3 
Mi r - . M s r *. 
p) 11 faut seulement que la distance de cr 4 -f- xi au pôle 1 soit supérieure à s. 
( 2 ) Voir par exemple page 6 du mémoire de Bohr et Landau cité plus haut. 
Évidemment il suffit de supposer F (z) régulier pour | z — z 0 \ < r 3 , continu pour 
| z — ? 0 1 ^ r$ au lieu de supposer la régularité pour | % - z 0 | ^ r 3 . 
1913. — SCIENCES. 80 
