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Pour le moment, il nous suffit de l’existence d’une inégalité 
(50) 
± < K 
Mi, — j*|* 
où x et X sont positifs et dépendent exclusivement de r 1} r 2 , r z , 
mais pas de la fonction; une telle inégalité (50) est, en effet, 
fournie par (49) avec 
log 
log 
11 est commode pour notre but de ne pas appliquer seule¬ 
ment à des cercles l’idée de M. Hadamard, mais de formuler la 
proposition suivante, qui découlera presque immédiatement 
de (50) par représentation conforme : 
Soient, dans le plan des s, un rectangle R et deux courbes 
fermées C' et G" tels que G' soit à l’intérieur de R, G" à l’inté¬ 
rieur de C'. Soit G (s) régulier dans R (y compris le contour) et 
pas identiquement 0. Soient m ± , m 2 , m 3 les maxima de j G (s) | 
sur C", C', R. Alors 
(51) 
1 m o 
— ^ 
m 4 ml 
où x et X sont positifs et ne dépendent que de R, G', C", mais 
pas de la fonction G (s) . 
Evidemment, dès que (51) sera prouvé, les constantes x, X 
resteront les mêmes pour une translation de la figure R, C', G". 
On prouve (51) de la façon suivante. Soit s 0 un point fixe 
à l’intérieur de G"; représentons par la fonction analytique 
s = s(z) le rectangle R du plan des s sur le cercle \ z\^ 1 de 
