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façon que s 0 = s(0). Posons 
!■'(*) = G(«C0); 
alors F (z) est régulier pour \z\ < 1, continu pour |z|:gl. 
Choisissons, ce qui est évidemment possible, deux nombres 
r i et i\ indépendants de la fonction F (z) = G (s) tels que 
0 < r l < r 2 < 1 et que l’image Bj de \z\=r i soit à l’intérieur 
de C", l’image B 2 de j z \ =r 2 à l’extérieur de C'. En vertu 
de (50), on a, si M 2 , M 3 désignent les maxima de | F( 2 ) | 
sur | z | = r ± , r 2 , 1 (donc les maxima de | G (s) | sur B 1? B 2 , B), 
. - Mf 
où x et X ne dépendent que de r 1 et r 2 . Or, évidemment, 
% jj Ab, m 2 ^ M 2 , m 3 = M 3> 
ce qui fournit (51). 
Commençons maintenant la démonstration du lemme 1. 
1 l 
Soit e > 0 et aq > - -f- b. Choisissons a-' tel que - < ? < aq — e 
Z Z 
et <7" tel que v" > aq -f- s, ? u > ! et 
log 2 
00 
-Z 
n= 3 
log n 
n' 7 " 
7}<V') > 0. 
On a alors, pour s = or" -j- ti , 
( 52 ) 
00 
Z 
V).=9 
log n 
n a " + H 
â^«)- 
Nous allons appliquer, pour tous les t suffisamment grands, 
l’inégalité (51) à la fonction G (s) = Ç 7 (s) et aux B, C', G 1 delà 
figure, où C" désigne spécialement le cercle | s — (aq -f- n) \ = e 
dans l’énoncé du lemme. Cette figure ne doit dépendre de t que 
