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Si l’on exprime que cette équation est vérifiée par les 
coordonnées de chacun des points A, B', C', on trouve 
u = 0, v = 
y m 
w .= 
fin 
l — m l — n 
Par suite, l’équation de la conique AB'C'PQ est 
aÿ* + (3** + y xy + (x + y + y + zî L 0. 
On déduit de là, par des permutations circulaires, les équa¬ 
tions des coniques BC'A'PQ, CA'B'PQ : 
/ (JJYI y / \ 
0L \j z + + y+ (x + y + z) (- z -1- x ) = 0, 
xyz + $zx + yxy + (x + y + - ^—y^j = 0 . 
\n — / n — m J 
Les coniques AB'C'PQ, BC'A'PQ, CA'B'PQ passent par 
le point F dont les coordonnées x 0 , y 0 , z 0 ont pour valeurs 
cumn 
x 0 =- 
m — n 
Vo = 
fini 
n — / 
vlm 
z 0 
m 
Ce point appartient à la conique ABCPQ; on a, en effet, 
1-1— — h. 
*0 Vo *0 
La première partie du théorème est donc démontrée. 
Ajoutons les remarques suivantes. Soit (K) la conique tan¬ 
gente aux cinq droites AB, BC, CA, A'B'C', cl. Lorsque P et Q 
sont distincts, le point F est à l’intersection des tangentes à (K) 
(distinctes de d) menées par ces points (*). Lorsque Q coïncide 
(*) Si l’on établit entre le plan de la figure et un plan tt une correspondance 
projective telle qu’aux points P et Q correspondent les points cycliques du plan Tt, 
on obtient ce théorème bien connu : Quatre droites situées dans un plan forment 
quatre triangles. Les cercles circonscrits à ces triangles se coupent en un point qui 
est le foyer de la parabole tangente aux quatre droites. 
