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Cette égalité exprime que le point a, considéré comme appar¬ 
tenant à 8, a pour homologue le point a'. Par raison de symé¬ 
trie, aux points b, c, a ', b',c' , considérés comme appartenant à 8, 
correspondent respectivement les points b', c', a, b, c. 
Soit M un point quelconque de la droite i ; ce point étant 
considéré comme appartenant à 8, désignons par M- son homo¬ 
logue. Les points M et M' se correspondent dans l f involution I. 
On a, en effet, 
(M abc) = (M'a'b'c'). 
Cette égalité montre aussi que le point M', considéré comme 
appartenant à 8, a pour homologue le point M. 
Cela posé, reprenons les coniques (F), (F') envisagées plus 
haut. Elles se correspondent dans la transformation projective 
considérée, car aux points A, B, C, D', E, F correspondent res¬ 
pectivement les points A', B', C', D, F, E. De là résulte immé¬ 
diatement l’égalité 
(ABCD'j — (A'B'C'D). G. Q. F. D. 
9 , — Soient (M 0 ) une surface isothermique quelconque et 
(MJ, (MJ, (M 3 ) trois surfaces isothermiques déduites de (M 0 ) 
au moyen de transformations D mi , D ma , D OTa de M. Darboux. 
En vertu du théorème de M. Bianchi (n° 2), il existe : 1° une 
surface (M 4 ) qui correspond aux surfaces (MJ, (M 3 ) dans des 
transformations D ma , D m2 ; 2° une surface (MJ qui correspond 
aux surfaces (MJ, (MJ dans des transformations D mi , D ma ; 
3° une surface (MJ qui correspond aux surfaces (MJ, (MJ dans 
des transformations D ma , D mi . 
D’après cela, 1° les surfaces (MJ, (MJ correspondent à la 
surface (MJ dans des transformations D m3 , D mo ; 2° les surfaces 
(MJ-, (MJ correspondent à la surface (MJ dans des transforma¬ 
tions D mi , D ma ; 3° les surfaces (MJ, (MJ correspondent à la 
surface (MJ dans des transformations D mo , D OTi . 
Donc, en vertu du théorème de M. Bianchi, il existe : 1° une 
surface (P) qui correspond aux surfaces (MJ, (MJ dans des 
