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Donc, les points M 4 , Mg, Mg sont collinéaires et, par suite, 
leurs inverses M 4 , M 5 , M 6 appartiennent à un cercle P 0456 . pas¬ 
sant par le point M 0 . 
Les cercles F 0234 , F 0315 ayant deux points communs, M 0 , M 3 , 
appartiennent à une sphère S, qui peut se réduire à un plan. 
Cette sphère renferme aussi le cercle F 0126 , car elle a avec lui 
trois points communs, à savoir M 0 , M 1? M 2 . Dès lors, les points 
M 0 , M 4 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 appartiennent à il qui renferme, 
par suite, le cercle F û456 . 
En conséquence, par le point M 0 passent quatre cercles 
tracés sur i : les cercles F 0234 , r ()315 , F 0126 , F 0456 . Les trois 
premiers déterminent le triangle M 4 M 2 M 3 , le quatrième coupe 
les côtés M 2 M 3 , M 3 M 1? M 4 M 2 de ce triangle respectivement aux 
points M 4 , M 5 , M ô . Donc, en vertu du théorème du n° 0, les 
cercles F J56 , F 264 , F 345 , F 123 circonscrits aux triangles M 1 M 5 M 6 , 
M 2 MgM 4 , M 3 M 4 M 5 , M 4 M 2 M. 3 se coupent en un point M 7 , et Fon a 
( (M 1 M 7 M 5 M 6 ) — .(M 4 M 0 M 2 M 3 ), 
CD (M 2 M 7 M 6 M 4 ) 
f (M 3 M 7 M 4 M 5 ) = (M 6 M 0 \l i M 2 )r ; . 
Des relations (5) et (7), on déduit 
771 71 ) 711 
(8) (M d M 7 M 5 M 6 ) = - 2 , (M 2 M 7 M 6 M 4 ) = - 3 , (M 8 M 7 M 4 M 5 ) ï -- 
m 3 m i m 2 
Entin, le rapprochement des égalités (6) et (<8) montre que 
les points P, Q, R coïncident avec M 7 . 
Le théorème de M. Bianchi est donc démontré. Nous avons, 
en outre, établi les propriétés suivantes : 
Les tétraèdres M 0 M 4 M 2 M 3 , M 7 M 4 M 5 M 6 sont des tétraèdres de 
Mobius inscrits dans la sphère i, (M 4 , M 4 ), (M 2 , M 5 ), (M 3 , M 6 ), 
(M 0 , M 7 ) étant les couples de sommets homologues . (*) 
(*) Ces propriétés subsislent lorsque la sphère S se réduit à un plan. Pour 
s’en assurer, il suffit d’appliquer le théorème déduit du théorème du n° 6 en 
supposant que la quadrique qui figure dans l’énoncé de ce théorème soit une 
sphère et en soumettant la figure h une inversion admettant pour pôle un point 
quelconque de cette sphère. 
