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abréger les calculs, on se contente d’approxi- 
mations. 
Par le point qu’on a choisi pour être le 
sommet du faisceau, et que nous nommerons 
centre de réduction , on imagine des droites 
respectivement parallèles aux tangentes me¬ 
nées à chacun des petits arcs observés dans 
son point milieu, et on prolonge ces droites 
par la pensée à travers la sphère terrestre 
jusqu’à ce qu’elles reparaissent à la surface. 
Elles deviennent ainsi autant de sécantes de 
la sphère terrestre. Chacune d’elles sous- 
tend un arc de grand cercle qui part du som¬ 
met du faisceau , et dont la grandeur et la 
position peuvent être déterminées par la 
résolution de deux triangles sphériques dont 
nous aurons plus tard à nous occuper. 
Si tous les petits arcs observés faisaient 
rigoureusement partie d’un même Système 
de traits parallèles, toutes les sécantes se 
trouveraient dans un même plan, et ce plan, 
qui déterminerait à lui seul tout le Système, 
pourrait être nommé 1 eplan directeur. 
Le plan directeur coupe le plan tangent à 
la sphère, au sommet du faisceau des sécan¬ 
tes, c’est-à-dire au point choisi comme cen¬ 
tre de réduction , suivant une droite tangente 
à la sphère, qui représente, pour le sommet 
du faisceau, la direction du Système, et qu’on 
peut appeler la tangente directrice. 
Le plan directeur , qui est généralement 
celui d’un petit cercle, coupe le plan du grand 
cercle perpendiculaire à la tangente direc¬ 
trice , suivant une droite qui part du centre 
de réduction , et qui rencontre l’axe des pôles 
du Système. L’angle que forme cette droite 
avec le rayon de la sphère, qui aboutit lui- 
même au centre de réduction , est égal à celui 
qu’elle forme avec le plan du grand cercle 
de comparaison , équateur du Système, et 
pourrait être appelé l’angle équatorial. 
L’angle équatorial E , et l’angle A que la 
tangente directrice forme avec le méridien as¬ 
tronomique du centre de réduction , détermi¬ 
nent à eux seuls tout le Système. 
Ce sont ces deux angles A et E qu’il s’agit 
de déduire des observations, c’est-à-dire des 
directions des petits arcs observés et de leur 
position sur la sphère terrestre. 
Si ces petits arcs étaient tous exactement 
parallèles à un même grand cercle de com¬ 
paraison, les sécantes parallèles à deux d’en¬ 
tre eux suffiraient pour déterminer la posi¬ 
tion du plan directeur et, par conséquent, les 
deux angles cherchés A et E. Mais si, comme 
c’est le cas ordinaire, les petits arcs observés 
ne satisfont que d’une manière approxima¬ 
tive à la condition du parallélisme avec un 
même grand cercle de comparaison, deux de 
ces petits arcs ne conduiront pas exactement 
au même plan directeur que deux autres, et 
on pourra déterminer autant de positions 
du plan directeur qu’il y aura de manières 
possibles de combiner deux à deux les petits 
arcs observés; c’est-à-dire que, si ces petits 
arcs observés sont au nombre de m, on aura 
positions différentes du plan di - 
m.m — 1 
recteur, et par conséquent —^-* 
valeurs 
de l’angle A, formé par la tangente directrice 
avec le méridien du centre de réduction, et 
- valeurs de l’angle équatorial E. 
Les valeurs de A et de E , qui devront être 
employées, s’obtiendront par une moyenne. 
On pourra cependantsimplifier les calculs, 
sans en changer le résultat d’une manière 
considérable, en prenant d’abord la moyenne 
, m.m — 1 
des-— 
2 
valeurs de l’angle A formé par 
la tangente directrice avec le méridien du 
centre de réduction, ce qui déterminera la 
position du grand cercle perpendiculaire à 
la tangente directrice; puis projeter les m 
sécantes sur ce dernier plan et prendre la 
moyenne de leurs m positions, ce qui don¬ 
nera la valeur de l’angle équatorial E. 
Mais le calcul, exécuté même de cette 
manière, serait encore d’une excessive lon¬ 
gueur , et on n’aurait que bien rarement 
des observations de direction assez précises 
pour justifier une aussi longue élaboration. 
Il importe donc de simplifier ce travail au¬ 
tant qu'il soit possible de le faire, sans com¬ 
promettre l’exactitude du résultat. 
Or, une propriété très générale des Sys¬ 
tèmes des petits arcs observés fournit un 
moyen de simplification très satisfaisant. 
Généralement, tous les petits arcs observés 
sont compris dans une zone de peu de lar¬ 
geur, divisée en deux parties égales par un 
grand cercle qui est le grand cercle de com¬ 
paraison ou l’équateur du système. 
Si donc on prend pour centre de réduction 
un point compris dans la zone occupée par 
