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cette surface présente à nos regards, et par 
l’habitude de la voir représentée sur des 
cartes géographiques qui sont des feuilles 
de papier planes. 
Pour nous bien rendre compte des erreurs 
qui peuvent résulter de cette substitution 
du plan tangent à la surface sphérique , 
analysons d’abord une opération très simple. 
Lorsqu’on veut planter une longue et 
large avenue , telle par exemple que celle 
des Champs-Élysées à Paris, on commence 
par en fixer la ligne médiane avec des jalons 
alignés; puis aux deux extrémités de cette 
ligne médiane, on lui élève de part et 
d’autre des perpendiculaires d’une longueur 
égale à la moitié de la largeur de l’avenue, 
et on fixe ainsi les deux extrémités des deux 
files d’arbres qui doivent la composer ; enfin 
en aligne tous les arbres de chaque file 
d’après leurs points extrêmes. 
Si l’opération est exécutée avec une ri¬ 
gueur mathématique, chacune des deux 
files d’arbres est un arc de grand cercle et 
ces deux arcs font partie d’un fuseau dont 
le milieu de la ligne médiane est le centre. 
Ils n’ontde rigoureusement parallèlesque les 
deux éléments situés au milieu de leur lon¬ 
gueur. Prolongés l’un et l’autre à chacune 
de leurs extrémités par une suite de jalons, 
ils iraient se rencontrer aux deux extrémités 
opposées d’un même diamètre de la sphère 
terrestre; prolongés par leurs tangentes ex¬ 
trêmes, ils se rencontreraient aussi à des 
distances qui, sans doute, seraient très 
grandes, mais qui ne seraient pas infinies. 
On pourrait se proposer de mener par 
l’extrémité de l’un de ces arcs une ligne 
exactement parallèle à l’extrémité corres¬ 
pondante de l’autre arc, et de déterminer 
quel angle ferait cette ligne avec l’extrémite' 
du premier arc. On aurait ainsi la mesure 
du plus grand défaut de parallélisme qui 
existe dans la figure. 
Cette détermination peut se faire de deux 
manières: par les formules ordinaires de la 
trigonométrie sphérique, ou par cette con¬ 
sidération que l’angle cherché est égal à 
l'excès sphérique de la somme des trois an¬ 
gles d’un triangle sphérique rectangle, où 
les côtés de l’angle droit sont un des côtés 
de l’avenue, et la perpendiculaire abaissée 
sur ce côté légèrement prolongé de l’extré¬ 
mité du côté opposé. 
Prenons un exemple, et le calcul même 
éclaircira cette double proposition. 
Supposons que l’avenue dont il s’agit ait 
1,000 mètres de longueur et 30 mètres de 
largeur. La diagonale de cette avenue for¬ 
mera, avec l’un des côtés et avec la perpen¬ 
diculaire abaissée sur celui-ci de l’extrémité 
de l’autre côté, un triangle sphérique rec¬ 
tangle où les deux côtés b et c de l’angle 
droit seront : 1° b, l’un des côtés de l’ave¬ 
nue , dont la longueur est de 1,000 mètres, 
prolongé d’une quantité négligeable; 2°c, 
la perpendiculaire abaissée de l’extrémité 
du second côté de l’avenue sur le premier 
légèrement prolongé, perpendiculaire dont 
la longueur ne différera pas sensiblement 
de 50 mètres. 
Pour déterminer en degrés, minutes et 
secondes les valeurs de b et c, on aura 
b 
b: 360:: 1,000™ : 40,000,000™. 
b = 
360°. 1000 
40,000,000 
36° 
4,000 
540' 
1,000 
33",4. 
32",4 
20 
1",620. 
Les deux angles aigus B et G de ce trian¬ 
gle doivent se déterminer par les formules : 
tang B 
tang b 
sin c 1 
tang G 
tang c 
sin b 
mais, dans le cas actuel, les valeurs de B et 
de G, qu’il s’agit de tirer de ces formules, 
forment une somme si peu différente d’un 
angle droit, que la différence ne peut être 
calculée avec les tables de logarithmes or¬ 
dinaires, ce qui montre que l'excès sphé¬ 
rique du triangle dont nous nous occupons 
est à peu près inappréciable. 
En effet, en recourant au second mode 
de calcul, on trouve, d’après la formule 
de Legendre (1), pour Yexcès sphérique 
du triangle que nous considérons : 
£ 
Rôc sin A 
= 0",00012733, 
c’est-à-dire environ 13 cent-millièmes de 
seconde sexagésimale, quantité absolument 
imperceptible ; ce qui montre que les deux 
(r) Legendre, Géométrie et Trigonométrie, ioc édition, 
page 426 . 
