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côtés de l’avenue, dont nous avons parlé, 
doivent paraître bien réellement deux 
lignes droites parallèles. 
Mais l’application des mêmes formules 
prouve qu’il n’en serait plus ainsi d’une 
avenue mille fois plus grande; or, les rap¬ 
prochements auxquels on se livre de prime 
abord lorsqu’on veut comparer entre eux, 
sous le rapport de leur parallélisme, les ac¬ 
cidents topographiques d’une vaste contrée, 
ses chaînes de montagnes, ses côtes, ses 
rivières, reviennent à peu près à concevoir 
une avenue très longue et d’une largeur 
plus ou moins grande, tracée à travers cette 
contrée, et à examiner si les accidents topo¬ 
graphiques que l’on compare pourraient en 
border les côtés. 
Concevons une pareille avenue de dimen¬ 
sions mille fois plus grandes que celle dont 
nous venons de nous occuper, c’est-à-dire 
ayant 1000 kilomètres de longueur et 50 
kilomètres de largeur. 
En raisonnant sur cette avenue exacte¬ 
ment comme sur la précédente, nous au¬ 
rons à résoudre par les formules : 
„ tang b _ tangc 
tang B = ——, et tang C = --- ; 
sin c sin b 
un triangle sphérique rectangle, dans lequel 
les deux côtés de l’angle droit seront • 
b = 9° — 32400''. 
c = 27 1 = 1020". 
on trouvera : 
B — 87° 9' 43" 28. 
C = 2° 52' 27'' 30. 
la somme de ces deux angles surpasse 90° 
de 2' 10", 58, qui représentent Yexcès sphé¬ 
rique du triangle rectangle dont il s’agit. 
Calculé par la formule de Legendre, Yex¬ 
cès sphérique du même triangle est vde 127'’ 
33 ou de 2' 7'', 33. La différence de 3", 
qui existe entre cette solution et la précé¬ 
dente tient à ce que la formule approxima¬ 
tive, qui donne l’excès sphérique, n’est 
déjà plus parfaitement exacte pour un trian¬ 
gle de 1000 kilomètres de côté. 
Maintenant, si de l’extrémité de l’un des 
côtés de notre grande avenue idéale on 
abaisse une perpendiculaire sur le second 
côté prolongé d’une petite quantité, puis 
que par l’extrémité du premier côté on 
mène une perpendiculaire à cette perpen- 
ï. xu. 
diculaire, celle-ci sera rigoureusement pa¬ 
rallèle à l’extrémité du second côté, et elle 
fera avec le premier côté un angle égal à 
Yexcès sphérique que nous venons de calcu¬ 
ler, c’est-à-dire de 2' 10 7 , 58. 
Telle est l’erreur la plus grande que 
comporte, par suite de la sphéricité de la 
terre, la construction idéale à laquelle nous 
avons fait allusion en imaginant la vaste 
avenue dont nous venons de parler; mais il 
est à remarquer que Yexcès sphérique des 
trois angles d’un triangle étant proportion¬ 
nel à sa surface, la même construction ré¬ 
pétée pour une avenue de 100 kilomètres 
de largeur comporterait une erreur de 4' 
21', 16; pour 200 kilomètres de largeur, 
l’erreur serait de 8' 42", 32 ; et pour 1,000 
kilomètres de largeur de 43' 31", 6. Elle 
n’atteindrait un degré qu’autant que l’ave¬ 
nue de 1,000 kilomètres de longueur au¬ 
rait une largeur de 1,378 kilomètres, c’est- 
à-dire plus grande que sa longueur. 
La diagonale du quadrilatère sphérique 
orthogonal, dont le côté est de 1,000 kilo¬ 
mètres, est elle-même d’environ l,000 m >/ 2 
— 1,414 kilomètres, qui font environ 350 
lieues. Or, il est aisé de voir que l’erreur 
commise sur le parallélisme de deux lignes 
passant par deux points donnés de la sur¬ 
face terrestre sera la plus grande possible, 
si ces lignes font, avec la ligne de jonction 
des deux points, des angles d’environ 45°; 
car l’erreur est nulle, si les lignes compa¬ 
rées sont perpendiculaires à la ligne de 
jonction des deux points. Elle redevient 
nulle si les deux lignes coïncident avec la 
ligne de jonction des deux points. L’erreur 
maximum correspond évidemment à la posi¬ 
tion moyenne entre ces deux extrêmes, ainsi 
qu’on peut d’ailleurs le démontrer par la 
formule même de Legendre. 
De là, on peut conclure que tant que 
deux points ne sont pas éloignés de plus de 
1,400 kilomètres ou 350 lieues, l’erreur 
qu’on peut commettre sur le parallélisme 
de deux lignes qui y passent, en faisant ab¬ 
straction de la courbure de la terre, ne va 
jamais à 44'. 
Embrassons un espace un peu plus grand 
encore : concevons que par un point de la 
surface de la terre on mène deux grands 
cercles perpendiculaires entre eux qui pour¬ 
ront être, par exemple, une méridienne et 
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