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sa perpendiculaire, mais qui pourront avoir 
aussi une tout autre orientation. À partir 
du point où les deux grands cercles se 
coupent à angle droit, mesurons sur chacun 
d’eux une distance égale à 7° \ du méridien, 
et par les quatre points ainsi déterminés, 
élevons des perpendiculaires sur les deux 
grands cercles. Par cette construction, qui 
est analogue à celle sur laquelle repose la 
projection de Cassini , nous formerons un 
quadrilatère sphérique orthogonal dont les 
quatre côtés seront égaux, et dont les quatre 
angles seront de même égaux entre eux, 
quadrilatère qui se rapprochera d’un carrré 
autant que peut le faire une figure tracée 
.sur une sphère. Ce quadrilatère serait même 
un carré exact s’il était infiniment petit, 
mais il aura un diamètre égal à 15° du 
méridien , et ses quatre angles égaux entre 
eux surpasseront chacun 90° d’une quan¬ 
tité qui, répétée quatre fois, formera ce 
qu’on pourra appeler Y excès sphérique de la 
ügure entière. 
Maintenant les quatre côte's du quadrila¬ 
tère sont rigoureusement parallèles deux à 
deux dans leurs points milieu ; mais à leurs 
extrémités ils ne sont plus parallèles, bien 
que les diagonales fassent avec eux des an¬ 
gles égaux; ils s’écartent du parallélisme 
d’une quantité égale à la moitié de Yexcès 
sphérique de la figure totale, c’est-à-dire au 
double de l’excès de chacun des quatre an¬ 
gles sur 90°. Il est aisé de voir que cette 
quantité est égale à quatre fois l’excès sphé~ 
rique d'un triangle sphérique rectangle dont 
i’un des côtés de l’angle droit est de 7° 
et dont l’un des angles aigus est de 45°. Le 
second angle aigu C de ce triangle se calcule 
par la formule cos C = cos c sin B, qui 
donne cos C — cos 7° 30' sin 45”, et C = 
45° 29 / 17".Cetangle excède45° de29’ 17'', 
et en quadruplant cette quantité, ce qui 
donne 1° 57' 8", on a celle dont les extré¬ 
mités correspondantes des côtés de notre 
quadrilatère s’écartent du parallélisme. 
Or notre quadrilatère a une largeur égale 
à 15° du méridien , c’est-à-dire à environ 
1,667 kilomètres, ou un peu plus de 400 
lieues. Il pourrait embrasser la France avec 
la plus grande partie des Iles Britanniques, 
de l’Allemagne et de l’Italie septentrionale. 
Les deux points situés aux deux extrémités 
d’une de ses diagonales, sont éloignés de 
plus de 2,350 kilomètres ou de près de 
600 lieues, et cependant l'erreur la plus 
grande qu’on puisse commettre, en compa¬ 
rant des lignes situées aux deux extrémités 
de cette diagonale de la manière la plus dé¬ 
favorable, ne s’élève pas à 2°. Ce résultat 
est conforme au précédent, auquel nous 
étions parvenu par une voie un peu diffé¬ 
rente ; car, pour des distances bien éloignées 
encore d’être égales au quart du méridien, 
les excès sphériques de triangles semblables 
auxquels elles servent de base sont à peu 
près proportionnels à leurs carrés ; or on a 
( 1,414 ) 2 : 43' 31”,6 : : ( 2,350 ) 2 : œ = 
2° 0' 13", proportion dont le quatrième 
terme ne diffère de 1° 57' 8" que de 3' 5' 1 , 
et cette différence vient, en partie, de ce 
que je n’ai calculé que d’une manière ap¬ 
proximative les diagonales dont j’ai comparé 
les carrés. La diagonale de 2,350 kilomètres 
est à peu près égale à la distance de Lis¬ 
bonne à la pointe nord de l’Écosse, ou de 
Naples à Christiania. On peut conclure de là 
que lorsque l’on comparera entre elles des 
directions observées dans l’Europe occiden¬ 
tale moyenne, en négligeant l’effet de la 
courbure de la terre, mais en tenant compte 
de la convergence des méridiens vers le 
pôle, on ne commettra que rarement une 
erreur de 2°. 
Il y aurait cependant un cas où les er¬ 
reurs pourraient devenir plus considérables; 
ce serait celui où l’on procéderait de manière 
à en accumuler plusieurs : ce qui arriverait 
par exemple si, au lieu de comparer direc¬ 
tement un point à un autre, on le compa¬ 
rait par l’intermédiaire d’un troisième, ainsi 
qu’on peut le faire impunément lorsqu’on 
opère sur un plan. En effet, on ajoute alors 
à l’erreur qui résulterait de la distance des 
deux points comparés, une quantité égale à 
l’excès sphérique des trois angles du trian¬ 
gle formé par les deux points comparés et 
par le point intermédiaire, quantité qui 
peut être additive aussi bien que sous¬ 
tractive. 
Ceci s’éclaircira par quelques exemples. 
Il s’agit, par exemple, de savoir quelle de¬ 
vrait être l’orientation d’une ligne passant à 
Bayreuth pour qu’elle fût parallèle à une 
ligne passant au Binger-Loch , sur le Rhin , 
au-dessous de Bingen , et dont l’orientation 
est donnée. 
