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kilomètres (415 lieues), et le côté Keswick- 
Ajaceio a approximativement 1,630 kilomè¬ 
tres (407 lieues); l’angle compris entre ces 
deux côtés est d’environ 3S°20'. Ces données 
approximatives, introduites dans la formule 
de Legendre, donnent, pour l’excès sphérique 
du triangle, 53' 55", c’est-à-dire 4' 15" de 
plus que nous n’avions trouvé directement, 
différence qui provient sans doute en partie 
de l’imperfection des mesures prises simple¬ 
ment sur la carte et nécessairement aussi de 
ce que la formule de l’excès sphérique n’est 
plus complétementexactepour un aussigrand 
triangle. 
On voit qu’en passant par Ajaccio, pour 
comparer Keswick à Prague, on joindrait une 
erreur de plus de trois quarts de degré à celle 
qui résulterait déjà de la distancedeKéswick 
à Prague; mais, ce qu’il importe de remar¬ 
quer, c’est que l’erreur est ici soustractive, 
tandis que, dans le cas du triangle Binger- 
Loch-Brocken-Bayreuth, l’erreur était addi- 
tive. Il est facile de se rendre compte de 
cette circonstance, d’après les positions res¬ 
pectives des points comparés entre eux, et 
cela permet de concevoir que, lorsqu’on a à 
opérer un certain nombre de comparaisons 
de ce genre et à en prendre le résultat moyen, 
il peut se faire que les erreurs résultant de 
la courbure de la terre soient en sens inverse 
les unes des autres et arrivent à se détruire 
en partie ou même complètement. C’est ce 
qui arrive de soi-même, lorsque le point 
choisi pour centre de réduction est à peu près 
centrai par rapport au réseau formé par tous 
les points d’observation. Dans ce cas, au lieu 
d’avoir à craindre dans le résultat une er¬ 
reur moyenne, par exemple d’un degré, ré¬ 
sultant de l’effet négligé de la courbure de 
la terre, on peut compter que l’erreur de la 
moyenne se réduit à quelques minutes, et 
rentre par conséquent dans les limites que 
ne peutdépasser la précision des observations 
de direction. 
Cette circonstance permet, comme nous le 
verrons bientôt, de prendre, par un procédé 
très simple et très expéditif, et cependant 
suffisamment exact, la moyenne d’un grand 
nombre d’observations de directions faites 
dans des contrées assez distantes les unes des 
autres, par exemple, dans presque toute 
l’étendue de l’Europe occidentale. 
Au surplus, comme je l’ai déjà dit, l’er¬ 
reur commise relativement à chaque point, 
par l’effet de la courbure de la terre, a pour 
mesure Y excès sphérique d’un triangle rec¬ 
tangle qui a pour hypothénuse la distance 
de ce point au centre de réduction , et dont 
l’un des angles aigus est celui formé au 
pointqueî’on considère par la direction qu’on 
y a observée et par la ligne de jonction avec 
le centre de réduction. On peut calculer tous 
ces excès sphériques et voir de combien la 
somme de ceux qui sont additifs surpasse la 
somme de ceux qui sont soustractifs, puis 
tenir compte de la différence dans le calcul 
de la direction moyenne rapportée au centre 
de réduction. On verra aisément que, pour 
arriver au résultat avec toute l’approxima¬ 
tion qu’on peut désirer, il suffit de calculer 
les excès sphériques de ceux des triangles 
rectangles indiqués, dont l’aire est la plus 
grande, et qu’on distingue aisément sur la 
carte. 
En réduisant ces calculs au degré d’ap¬ 
proximation strictement nécessaire, on peut 
les simplifier considérablement et les exécu¬ 
ter d’une manière très expéditive. 
La formule donnée par Legendre (1) pour 
calculer l’excès sphérique s des trois angles 
d’un triangle dont-deux côtés, b et c, forment 
entre eux un angle A, se réduit, lorsqu’on 
veut obtenir la valeur de s en secondes sexa¬ 
gésimales , à 
_ b. c. sin A. 1,296,000. 
4 (20,000,000)- 
6. c. sin A. 81. tt 
~ 100 , 000 , 000,000 * 
Si le triangle sphérique auquel on doit 
appliquer cette formule est rectangle, que b 
soit son hypothénuse, c l’un des côtés de 
l’angle droit, et A l’angle aigu compris entre 
ce côté et l’hypothénuse, on aura; 
. tang c 
cos A — --; 
tang b 
et pourvu que b soit de beaucoup inférieur 
à 90°, qu’il ne dépasse pas, par exemple, 15 
à 20°, on pourra, sans erreur considérable, 
remplacer le rapport des tangentes par celu 
des arcs, et admettre que l’on a approxiina* 
tivement: 
c 
cos A = ~, c — b cos À. 
b 
(i) Legendre, Géométrie et Trigonométrit, io* édition 
page <26. 
