860 
MR. A. R. FORSYTH ON THE THETA-FUNCTIONS, 
% . . . , x t ) 
0 } r 
m i — qo ^ g 
— 2 p 1 1 e lR i fe+mj logp' 1)2 , ^4-m! logy/ li3 ,..., x r +m 1 log_p' 1)} ) 
m,i=—ao 0,r—1 
= <£ (X 2 , X S) . . . , 3?,.)+^! COS “ 
0,i— 1 •i'-i 
* (®s+ kg As. • • • )+ ® (*a~ log A» • • • ) 
_0,r—1 0,r—1 
nr u m 
+ipi sin T? 1 <*> A+ log As. • • • )- 3 > (* 3 - log *P\,2t ■ ■ ■ ) 
0,r— 1 
COS 
4 ... 2<7r 4i 
Ki 
4> (* 2 + 2 log/ li2 ,...)+ 4> (* 3 -2 log / li2 ,...) 
LO.J—1 0,1—1 
QtTcC 
+m sin A 1 <*> (®s+ 2 log/1,2, ■ • •)- * (*2-2 log A*...) 
L°.r-i o,i—i 
+ • • • 
Expanding and arranging, this gives 
®( x i> x 2 , . . . , x r )= (x 2 , x s , ... , xi) l+2pj cos — L + 2p/ cos . . .1 
0,r 0 , 1 ’-1 (_ Ivj JV-L 
+ 2i{ Pl sin fj+ 2p* sin **+ 8ft* sin 3 -=A ...} (log /, 2 |-+ log Ai£J+• • <) *, 
■ 1 f 7VX-\ - Q * 2irx, . 
+ 2 ] 2 cos 2 S .A cos -g~J+ . . . 
+ • .. 
'i.s4+ log Aa4+ • • .)** 
& 1,3 c ? 1 » 3 1 ^ & - ri,3 ^a? 3 / o,r-1 
= <*> 
0,1-1 U,UW/ 7T 
, 1 
' 2\ \7T / 
2K 2 . ,2K 31 d, 
_ 0,r -1 
2K 0 
d . 2K 
lo sAs+A lo im,er+ • • • 
3 Ap q 
$ + . . . . (241) 
_ 0 , 1—1 
oir *—?’ 
1 2 (tojrm.OK. 
it* s=2 
<4* 
^f 0 ,ofe) ^ % • * • i «V).(242) 
0 , 1—1 
~i S 2'4' K,K t logp s , ( A^_ t=r 
=e ** S=14=1 dx ‘ dxt n 0 O Jx t ) .(243), 
4=1 ’ 
where the double summation in the index implies that s, t are to have every value 
1, 2, 3. . . . , r (but never the same value together); and 
II $0,0 ( X t) — @0,o( X ))@Q,q{ X %) ’ ' • ^0,0 i X r)- 
4=1 
The theorem for the general function is 
\h 
X 2 , . 
. • , V\ 1 
]X^ } Xa , . . . , X r >• 
IW 
v v •- 
• • > v r) J 
s=r 4=r rK 
2 2 K.Ktlogp,,,-?—^ 
=e A=i 4=1 dx ‘ dx ‘U0 VU)K (x it ) . (244). 
it=i 
