paramètre différentiel attaché à une forme multilinéaire, inva¬ 
riante par rapport à ces équations différentielles; cette généra¬ 
lisation fournit le sens profond du théorème de Poisson; 
M. Yergne (Comptes rendus , 25 avril 1910) l’avait aperçu en 
partie, grâce à la théorie des transformations de contact (*). 
Dans un autre mémoire (**), j’ai déduit de l’invariant intégral 
= 2*' N * H*’ 1= 1 ... r^n 
t 
où N* sont des fonctions des r variables indépendantes i ± ... t r , 
des n variables dépendantes x ± ... x n et des dérivées partielles 
x) == —, les équations canoniques de Ilamilton-Yolterra et j’ai 
dt j. 
fait une étude approfondie de ces équations. 
Faisons une dernière remarque. On sait que la forme différen- 
2 m 
tielle des 2m variables x i ...x 2m peut s’identifier avec 
i 
• . m 
une autre forme différentielle £* y k hz k , qui, en général, com- 
i 
prend au minimum m termes; les y k et z k sont alors 2m fonc¬ 
tions distinctes des ' x. 
Cette réduction porte le nom de problème de Pfaff. Un pro¬ 
blème analogue se présente pour les formes intégrales. On sait 
m 
que l’invariant relatifs* ]fk°%k, ayant donc la forme réduite ou 
i 
canonique de Pfaff, joue un rôle essentiel dans la théorie des 
équations canoniques classiques; il en sera de même pour l’in¬ 
variant relatif p — uple, mis sous la forme réduite, dans la 
généralisation des équations canoniques. Ce sera l’objet d’un 
autre mémoire. 
(*) Un mémoire plus étendu de M. Vergne paraîtra bientôt dans les Annales de 
l’École normale supérieure de Paris et traitera, en outre, de la théorie des invariants 
intégraux. 
(**) Sur les équations canoniques de Hamilton- Volterra. (Mémoires in-4° de l’Acad. 
roy. de Belgique [Classe des sciencesl, t. III.) 
