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Equations différentielles «lu second ordre. 
Notations! — Les n équations différentielles du second ordre 
d?Xi 
~dÏÏ 
r . dx 
= li [x,-.t 
sont équivalentes aux 2)i équations du premier ordre 
(VI) 
dx'; 
dx; 
x\ £i(x, x\ t ) 
dt. 
i = \ ... n 
i = 1 ... n 
Considérons maintenant un système de n équations du pre¬ 
mier ordre 
dx-i 
VII) 
x'i(x, t ) 
- = dt , 
ou les x'i [x, t ) sont des fonctions des x et de t, telles qu’on ait, 
en vertu des équations (VI), 
dx'j (x , t ) 
dt 
(x, x\ t), 
après avoir remplacé dans le second membre, les x par leurs 
expressions en x et en t. Posons enfin 
qui représentent, dans la notation de Lie, les transformations 
infinitésimales (VI) et (VU). 
L’opération consistant à remplacer les x\ par des fonctions 
dx 
des x et de t satisfaisant aux relations précédentes — — sera 
dt 
indiquée par { \ ; ainsi 
e( 
\Xj\ = x’i {x, t) 
| 9 (x, x', t) s = 9 (x, x' (x, t), /). 
