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3. Théorème. — Tout ensemble E de points du domaine D 
admet un polynôme d’approximation (*). 
Ce théorème se démontre comme dans le cas des variables 
réelles (voir notre mémoire précédent, n°6). 
§ 2. — Polynôme d’approximation dans un ensemble E 
d’un nombre limité m de points. 
(m > n + 1). 
4. Théorème. — Le polynôme d’approximation P de 
degré n dans un ensemble E d’un nombre limité de points 
fournit des résidus absolus égaux à p en n -f- 2 points au 
moins de E (**). 
Supposons que P fournisse des résidus r 0 , r ± , ... r n tous de 
modules <f p aux n -f- 1 points x 0 , x lf ... x n , mais des résidus 
r n + 1 , ... tous de modules < p aux points suivants. Je dis que p 
ne sera pas l’approximation minimum. 
En effet, les équations 
/o-= P 0 > ti — r n — P/I 
définissent le polynôme P en fonction de r 0 , r if ... r n . Si l’on 
fait décroître infiniment peu les modules de r 0 , r ±9 .., r n , les 
coefficients de P varient infiniment peu et les résidus r n ^ lt ... 
restent de modules < p. Donc le polynôme P modifié fournit 
une approximation < p, et p n’est pas l’approximation minimum. 
5. Théorème. — Le polynôme d’approximation de degré n 
dans un ensemble E d’un nombre limité de points est unique (***). 
Supposons, par impossible, qu’il y ait deux polynômes 
d’approximation P' et P" fournissant respectivement dans E 
(*; Tonelli, loc . cit.. p. 109, mais pour un domaine. 
(**) Ibid., loc. cit., p. 109, pour un domaine. 
(***) Ibid., loc. cit., p. 111, pour un domaine. 
