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9. Théorème. — Si une suite de polynômes P p P 2 , P A , ... 
fournit dans E les approximations successives p 1 , p 2 , ... p A , ... 
tendant vers p, P A . tend vers P. Autrement dit, un polynôme qui 
fournit dans E une approximation infiniment voisine de p est 
lui-même infiniment voisin de P. 
On observe d’abord en construisant P A par la formule de 
Lagrange que les coefficients des polynômes P A sont bornés. 
Considérons les coefficients du polynôme P A comme les coor¬ 
données d’un point p k dans l’byperespace. L’ensemble des p k , 
étant borné, admet au moins un point-limite p. Soit P le poly¬ 
nôme qui a pour coefficients les coordonnées de p. On peut 
faire tendre li vers l’infini de manière que P A tende vers P, donc 
rapproximation de P est p et P est un polynôme d’approxi¬ 
mation. 
«le dis maintenant que la suite P,, P 2 , ... tend nécessairement 
vers P, ou, ce qui revient au même, que l’ensemble des points 
p ± , p 2 , ... p k , ... ne peut avoir d’autre point-limite que p. En 
effet, s’il y en avait un autre p ', il aurait pour coordonnées les 
coefficients d’un polynôme P' différent de P ; ce qui est impos¬ 
sible, car, comme on peut faire tendre P A vers P', P' aurait 
pour approximation p et ce serait un second polynôme d’ap¬ 
proximation. 
Corollaire. — Si l’on considère dans l’ensemble E les 
polynômes d’approximation P et P' de deux fonctions f et L 
respectivement , les deux polynômes d’approximation sont infini¬ 
ment voisins en même temps que les deux fonctions. 
Soient p l’approximation de / par P, p' celle de /' par P'. 
Si |/'—f | est < e, l’approximation de /' par P r sera < p' + e 
et celle de f par P sera < p —|— e ; par conséquent, p < p' -f- s 
et p' < p -f- s. Donc l’approximation de f par P' est < p + 2e, 
ainsi infiniment voisine de p, et P' est infiniment voisin de P. 
Ce théorème sera généralisé plus loin (n° 13). 
h. Théorème. — Le polynôme d’approximation dans un 
