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saut plus, et désignons par P' le nouveau polynôme d’approxi¬ 
mation dans E' relativement aux nouvelles valeurs /’. Ce 
polynôme ne pourra plus fournir de résidus absolus égaux que 
dans une partie seulement E" de E'; car les équations analogues 
à (1) sont impossibles, et ce polvnome sera d’approximation 
dans E". 
Il peut se faire que cet ensemble E" change quand f tend 
vers f d’une manière quelconque. Mais, comme il n’y a qu’un 
nombre limité d’ensembles E" possibles puisque le nombre des 
points de E' est limité, il y a au moins un ensemble E" qui se 
reproduit une infinité de fois. Nous conviendrons de ne consi¬ 
dérer que les fonctions f auxquelles correspond cet ensemble-là. 
Ainsi l’ensemble E" sera bien déterminé. 
Mais P, étant infiniment voisin de P d’après le corollaire du 
n u 7, est avec lui (à la limite) d’approximation dans E" et, par 
conséquent, E' n’est pas réduit au nombre minimum de points, 
contrairement à l’hypothèse. 
De là, le théorème suivant : 
». Théorème. — Le polynôme d’approximation dans un 
ensemble E cpii contient un nombre de points limité mais supé¬ 
rieur à %i -f- 3, est aussi d f approximation dans un ensemble E' 
formé de 2n -f- 3 points de E au plus , choisis de manière que 
l’approximation ait la plus grande valeur possible. 
Le nombre des points de E' peut varier, suivant les cas, de 
n - {- 2 à 2n -|- 3. 
§ 3. — Polynôme d’approximation 
dans un ensemble de points en nombre infini. 
Nous supposerons maintenant que l’ensemble E renferme 
une infinité de points du domaine borné D. Il pourra d’ailleurs, 
comme cas particulier, se confondre avec ce domaine lui-même. 
Théorème. — Si l’ensemble E est fermé , son polynôme 
