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d’approximation P est le polynôme d f approximation dans un 
ensemble E', formé de 2n -f- 3 points de E au plus , choisis de 
manière que l’approximation ait la plus grande valeur possible. 
L’ensemble E étant fermé, on peut choisir 2n- f-3 points de E 
de manière à former un ensemble E' où la valeur de l’approxi¬ 
mation atteint sa borne supérieure pour tous les ensembles de 
-f- 3 points de E. 
Je dis que P est d’approximation dans E . 
En effet, si, par impossible, le polynôme P' d’approximation 
(fans E' était différent de P, son approximation dans E' 
serait p’ < p. 11 y aurait donc au moins un point x de E où le 
résidu r { de P' serait de module > p'. En ajoutant ce point à E f 
on formerait un ensemble E" de %i -f- 4 points où l’approxi¬ 
mation serait > p' et ce serait celle dans un ensemble de 
2n -f- 3 points de E". Donc l’ensemble E' ne serait pas celui où 
l’approximation a la plus grande valeur. 
il. Théorème. — Le polynôme d f approximation dans un 
ensemble fermé est unique et ce polynôme fournit des résidus 
absolus égaux à p en n -j- 2 points au moins de E. 
Ce polynôme est unique puisqu’il coïncide avec le polynôme 
d’approximation dans l’ensemble E' du théorème précédent et 
que celui-ci est unique (n° 5). Il fournit au moins n -f- 2 
résidus égaux à p en vertu du théorème du n° 4. 
Ce théorème a été établi par M. L. Tonelli dans le cas où E 
comprend tous les points d’une aire et de son contour, mais 
par des procédés très différents. 
*£. Théorème. — Le polynôme d*approximation est unique 
aussi dans un ensemble non fermé E. 
Ce cas se ramène immédiatement au précédent. 
Soit E a l’ensemble obtenu en ajoutant à E ses points-limites. 
Un polynôme quelconque fournit la même approximation 
dans E 1 que dans E, donc le polynôme d’approximation dans E 
est le même que dans E A qui est fermé. 
