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Ils reviennent d’ailleurs, sous une forme à peine différente, à 
celui qui a été indiqué par M. L. Tonelli (*). 
15. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour 
(pi un polynôme P soit d’approximation dans un ensemble E f de 
;jl points x\, x 2 , ... x^ ([JL ~7'\\ -}è 2) où le résidu absolu est p par¬ 
tout, est que, si l’on désigne par r ± , v 2 , ... r [X les résidus en ces 
p. points, il n’existe aucun polynôme Q (x) de degré n tel que les 
quotients 
Q (æQ Q (x*) Q(ayO 
n ’ r 2 ’ Vp 
aient leurs parties réelles positives et non nulles. 
Cette condition est suffisante. En effet, soit P' (différent de P) 
le polynôme d’approximation dans E r , fournissant, dans cet 
ensemble, les résidus r[ ± , r' 2 , ... de modules < p. Le polynôme 
O —, P — P prendra dans cet ensemble les valeurs r i — r\, 
r 2 — r\, ... Par conséquent, les quotients 
Qi — i _ ~ 
ri n 
auront leur partie réelle >0, car la dernière fraction est de 
module < 1. Donc, si P n’est pas le polvnome d’approxima¬ 
tion. on peut trouver un polynôme Q correspondant satisfai¬ 
sant à la»condition du théorème. 
Cette condition est nécessaire, car s’il existe un polynôme Q 
satisfaisant à la condition du théorème, le polynôme 
P + XQ 
1+X 
fournira les résidus 
I +X- 
r -f- A r e 
TT* = r Tô ’ 
qui seront de modules moindres que r pour 1 positif et suffisam¬ 
ment petit. 
(*) Loc. cit p. 113. 
