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Géométrie analytique. Sur les transformations 
irrationnelles involutives du plan, 
par Lucien G0DEAUX, candidat en sciences physiques et mathématiques. 
Nous nous sommes proposé d’énumérer les différents types 
de transformations Irrationnelles involutives du plan qui 
peuvent se présenter. Nous sommes parvenu à répartir ces 
transformations en quatre catégories et à déterminer complète¬ 
ment celles qui rentrent dans les trois premières catégories. 
Relativement aux transformations de la quatrième catégorie, 
nous avons ramené leur détermination à la solution de deux 
problèmes particuliers rentrant dans le problème unique sui¬ 
vant : Etant donné une invelution plane et un système double¬ 
ment infini d’indice supérieur à l’unité de courbes planes de 
classe donnée , se peut-il qu’une et une seule courbe du système 
ait aux points d’un groupe de l’involution des points- de 
rebroussement maximum , c’est-à-dire des points par chacun 
desquels il ne passe qu’une tangente à la courbe? 
Les cas particuliers de ce problème, dont dépend la solution 
de la question que nous nous sommes posée initialement, sont 
relatifs aux cas où l’involution plane est d’ordre un identité) 
ou d’ordre quatre, et dans ce dernier cas l’involution est 
engendrée par les intersections des coniques d’un réseau. 
M. Bertini (1) et S. Kantor (2) s’étaient déjà occupés des 
transformations Irrationnelles involutives du plan, mais à un 
autre point de vue. Ces géomètres avaient déterminé ( indépen¬ 
damment l’un de l’autre) les types de transformations biration- 
nellement irréductibles, en démontrant qu’étant donne une 
(1) Ricerche suite trasformazioni univocfie inventorie nel piano . (Annali i>i Matk- 
matica, 4877 (2), VIII.) 
(2) Sur une théorie des courbes et des surfaces admettant des correspondances 
univoques. (Comptes rendus, 4885, t. C.) 
