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3. Transformations de la seconde catégorie. — Soit d> 2 une 
transformation de la seconde catégorie, caractérisée par un 
système oo 1 de droites T 1 et un réseau de coniques Q. Une 
droite de F x porte un nombre simplement infini de couples 
de <1> 2 , donc à une droite de 1\ correspondent oc 1 coniques de 12 ; 
inversement, à une conique de 12 correspond un nombre fini de 
droites de I\. 
Pour que la transformation <ï> 2 soit birationnelle, le système \\ 
doit être un faisceau. De plus, une droite de ce faisceau ne peut 
j>as faire partie de l’enveloppe du système des coniques de 12 qui 
lui correspondent, car *J> 2 se réduirait à l’identité; par suite, à 
une droite de r i correspondent dans 12 les coniques d’un faisceau. 
On a ainsi dans 12 une variété ce 1 de faisceau w de coniques. 
On peut supposer qu’un de ces faisceaux w correspond à n droites 
du faisceau F,, et alors entre les droites de Û 1 et les faisceaux w 
on a une correspondance (n, 1). 
Nous allons maintenant démontrer qu’une conique de 12 ne 
peut appartenir qu’à un seul faisceau w. Supposons, si cela est 
possible, qu’une conique Ede 12appartient à deux faisceaux oj 1? 
correspondants à des droites de \\. Si d est une droite dont 
l’intersection avec E donne un couple de d> 2 , il en sera évidem¬ 
ment de même des intersections de d avec les autres coniques 
de iù ± ou de to 2 . Alors, si w i et ne se confondent pas en un 
seul faisceau, la correspondance n’est pas birationnelle, ce 
qui doit être, d’où la propriété annoncée. Tous les faisceaux w 
ont, par suite, une conique fixe commune. 
Les groupes de n droites du faisceau 1\, tels qu’à chacun de 
ces groupes correspond un seul faisceau «, forment évidemment 
une involution binaire Vf. 
Les transformations de la seconde catégorie sont déterminées 
par Tétablissement d’une homographie entre les faisceaux de 
coniques d’un réseau ayant une conique fixe commune et les 
groupes d’une involution binaire IJ donnée dans un faisceau de 
droites . 
