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formant un système simplement infini et ce système X doit 
être tel que par 1 ) il ne passe qu’une seule de ses coniques. Soi! 
v l’indice de 2. Une première solution s’aperçoit immédiate¬ 
ment : c’est v = 1 ; mais nous allons voir qu’il y en a d’autres. 
Pour cela, rapportons projecti veinent les coniques de Q aux 
droites d’un plan arbitraire tt ; le plan de Q sera représenté sur 
le plan quadruple tc, et E sera représenté par un système de 
droites £' dont l’indice est aussi égal à v. Soit P' le point image 
de P; le système £' doit être tel que par P' ne passe qu’une 
seule de ses droites. Alors P doit faire partie de l’enveloppe g 
de E' et nous sommes ramenés au problème suivant : 
Quelles sont les courbes ? , de classe assignée v, possédant un 
point P' où toutes les tangentes sont confondues? 
Une solution sera fournie par une conique passant par P', 
une autre solution sera donnée par une cubique plane possédant 
un point de rebroussement en P'. 
Supposons que nous connaissions une courbe a-' donnant la 
solution générale du problème précédent. Retournons au plan 
du réseau ü et désignons par Pj, P 2 , P 3 les points qui, avec P, 
ont pour image sur le plan tu le point P'. Les points P, P 1 , P 2 
et P 3 seront donc les points-bases d’un faisceau de coniques 
de Q. La courbe a-' aura pour correspondante une courbe cr 
(enveloppe de S) passant par les points P, P 1? P 2 et P 3 . 
Pour que la transformation d> 4 soit birationnelle, il faudra 
encore qu’à la conique de 2 passant par P ne corresponde 
qu’une droite passant par P. 
Considérons maintenant toutes les droites du plan qui ont 
pour correspondantes les coniques de Ü passant par P (et par 
suite par P 2 , P 3 ) ; ces droites vont former un certain sys¬ 
tème oo l A dont l’indice sera évidemment égal à l’indice v de I. 
Par le point P ne peut passer qu’une seule droite de A, et il doit 
en être de même en P 2 , P 3 et P 4 . De plus, à une droite passant 
par P, P 1? P 2 ou P 3 ne peut correspondre qu’une conique de il 
passant par ces quatre points. En désignant par X l’enveloppe 
