Un calcul simple montre que l’un des points en question est 
l’intersection de la droite C d et du plan 
a i4 + — o* 
Appelons ce point P d . Les autres points P 2 , P 3 , P 4 sont les 
intersections, en dehors de C 3 , des trois surfaces tu, (I) et (SJ. 
Faisons maintenant varier a d et a 2 ; le point P ± décrit la 
droite C A , et c’est le seul point d’appui de la courbe y sur cette 
droite, car autrement toutes les courbes y ayant cinq points et 
une bisécante en commun avec C 3 coïncideraient toutes avec 
cette courbe. 
Le lieu des points P 2 , P 3 , P 4 est une courbe plane C 5 , du 
cinquième ordre, intersection du plan tu et de la surface 
a*(44) 2 +4(440 (440+4(44) (44)+/U44) (44) = °C)> 
les déterminants étant dénotés par leur diagonale principale. 
La courbe C 5 passe évidemment par le point commun à C d et 
au plan tu et a de plus trois points doubles sur C 3 . 
Nous venons de voir que les courbes de P situées sur une 
quadrique de <t> passent toutes par un point P 4 de la droite G d . 
Inversement, les courbes y passant par un point de C 3 sont 
situées sur une quadrique de <E>; donc : 
La cinquième congruence de cubiques gauches de M. Stuy- 
vaert est le lieu des courbes s’appuyant en cinq points sur une 
cubique gauche C 3 , en trois points sur une quintique planeC^ayant 
trois points doubles sur C 3 , et en un point sur une bisécante C d 
de C 3 s’appuyant sur C 5 . Les courbes de la congruence se distri¬ 
buent par faisceaux sur les quadriques passant par C d et C 3 de 
telle manière qu’une de ces quadriques contient un seul faisceau 
(*) Cette équation ne coïncide pas avec celle qui a été donnée par M. Stuyvaert 
(loc cit .), mais le lecteur verra aisément que cela tient à une erreur typographique 
qui s’est glissée dans le mémoire de ce géomètre. 
