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Analyse mathématique. — Sur les valeurs moyennes de 
certaines fonctions arithmétiques, 
par E. LANDAU, à Gôttingen. 
§ î. 
Dans un mémoire très intéressant publié sous ce titre, en 
1898, dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles (*), 
M. de la Vallée Poussin avait démontré les faits suivants. 
Désignons par [y] le plus grand entier ^ y et posons 
p (y) = y — [y] 
(partie fractionnaire de y). Alors un résultat classique de 
Dirichlet (**) peut s’énoncer ainsi (***) : 
Théorème 1. 
où C est la constante d’Euler. 
En d’autres termes ( 1V ) : 
Si l’on divise x par tous les nombres entiers positifs n ^ x, 
la moyenne arithmétique des parties fractionnaires de ces quo¬ 
tients tend, pour x = oo , vers une limite, et cette limite est 
1 — G. 
(*) T. XXII, première partie, pp. 84-90. 
(**) Über die Bestimmung der millleren Werthe in der Zahlentheorie (Abhand- 
LDNGEN DER KÔNIGLICHEN AKADEMIE DER WlSSENSCHAFTEN ZU BERLIN, Jahrgang 1849, 
Mathematische Abhandlungen, pp. 69-83; Werke, t. II, pp. 49-66), pp. 75 et 57. 
(***) Quant au sens des signes f; pour u et v non entiers, r w, O et o, voir le 
n= u 
§ 12 (pp. 59-65) de mon Handbuch, der Lehre von der Verteilung der Primzahlen 
(Leipzig et Berlin, Teubner, 1909). 
( IV ) En effet, le nombre des n ^ x est [x] = x-\-0 (1) rw x. 
