Dans son mémoire cité, M. de la Vallée Poussin a ajouté à ce 
théorème connu les deux propositions suivantes (U et III), dont 
il a démontré la première par une voie relativement élémentaire, 
la seconde au moyen de la théorie analytique moderne des 
nombres premiers, dans laquelle il avait, pendant les années 
précédentes, fait lui-même de si brillantes découvertes : 
Théorème II. — Soient k et 1 deux entiers positifs . Alors , n 
parcourant les nombres positifs ky -f- 1 ^ x, où y est entier, 
En d’autres termes (*} : 
Si l’on divise x par tous ces nombres ky -f- 1 rg x, la 
moyenne arithmétique des parties fractionnaires de ces quotients 
tend , pour x = oc , vers une limite, et cette limite est \ — C. 
L’intérêt de cette proposition consiste en ce que la limite 
trouvée est indépendante de k et de /. 
Théorème III. — Si p parcourt les nombres premiers ^ x, 
on a 
En d’autres termes, ayant égard au théorème principal (dû à 
MM. Hadamard et de la Vallée Poussin) de la théorie des 
nombres premiers (**) 
le théorème 111 dit : 
Si l’on divise x par tous les nombres premiers rg x, la moyenne 
(*) En effet, le nombre de ces nombres ky -f- L < x est ^ -f- 0(1) 
(**) tz (x) désigne le nombre des nombres premiers <Lx. Naturellement, (1) est 
utilisé par M. de la Vallée Poussin dans sa démonstration de III. On verra plus loin 
que ce n’est pas la seule proposition de la théorie des nombres premiers qu’il 
applique. 
