arithmétique des parties fractionnaires de ces quotients tend , 
pour x = oo , vers une limite, et cette limite est \ — C. 
Ici encore, la limite est la même que pour le cas où tous les 
entiers fg x figurent comme diviseurs. 
§ 2. 
Je me permets de reproduire d’abord, traduite dans mes 
désignations habituelles, la démonstration que M. de la Vallée 
Poussin a donnée de III, pour y ajouter quelques remarques et 
expliquer ensuite le point de départ du travail actuel. 
M. de la Vallée Poussin part de l’identité fondamentale (due 
à Tchébychef et de Polignac) de la théorie des nombres premiers, 
savoir 
Y lo « p 
PfàOC 
Xl 
qui 
donne 
x 
tAJ ffïü X \ 
(2) £>°g P “ +£log )'{ — + -T + - )=xlogx — x + o(x). 
p^x JP_ p^x VL V J Le J / 
Dans 
1 '°8 P ( I ÿj 
P^X 
X 
+ 
X 
+ •••)= £ Io §/ ; 
p" L ^x 
m>2 
X 
p m 
le nombre des crochets égale le nombre des puissances 2 e , 3 e ,... 
non supérieures à x de tous les nombres premiers; ce nombre est 
certainement (*) o Donc 
Y lo g/’ 
P^X 
X 
X 
_ 
+ 
— 
L p 2 _ 
P 3 
+ 
. 2^+ .(•); 
p m ^X 
m 2 
P 
(*) Car le plus grand m possible étant [jyy] = 3, le nombre des crochets est 
3 _ £ _ 3 _ ^ _ 
7i (V^) -|- 7i (Vx) -)-L 71 (Vë) = VÊ -f- V# -f-[- \fx t==z Væ -f- \fx -|-p Va? 
z\lx = 0 [Vx log x) ~°(^ 
X 
log X 
