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Maintenant M. de la Vallée Poussin applique le théorème sui¬ 
vant, qu’il avait démontré en même temps (*) que le théorème 
(1) sur tu ( x ), en 1896 : 
CO 2 ^l lo g*- c + <>C0- 
p^x P 1 
(6) et (7) donnent 
(8) £ logp p (?) — (1 C) x + o(x). 
P^X WJ 
Or, d’après 
O) 
TT (X) 
lOgÆ 
(*) Ce n’est que tout récemment qu’on a découvert que les deux propositions (1) 
et (7) sont équivalentes. C’est au moyen d’un théorème important démontré par 
M. Axer dans son mémoire Beitrag zur Kenntnis der zahlentheoretischen Funktio- 
nen p. {n) und X ( n ) (Prace matematyczno-fizyczne, t. XXI, pp. 65-95; 1910), 
pp. 68-72 et 87-90, que j’ai pu établir l’équivalence de (1) et de (7), en ce sens que 
non seulement \{) est une conséquence élémentaire de (7), ce qui était clair, mais 
que inversement, pour passer de (1) à (7), on n’a pas besoin de remonter aux 
sources transcendantes. Ceci se trouve développé aux pages 102-103 et 137-139 de 
mon mémoire Uber die Bedeutung einiger neuen Grenzwertsàtze der Herren Hardy 
und A xer (Prace matematyczno-fizyczne, t. XXI, pp. 97-177 ; 1910). Toutefois pour 
passer de (1) à (7), il faut encore avoir recours à certaines propriétés (facilement 
accessibles) des nombres premiers. Plus précisément, il existe des classes de 
nombres entiers positifs telles que (1) soit valable sans que (7) soit juste, même 
sans que la limite 
lim 
X = ao 
VÆU-l 
(où g parcourt les nombres de la classe) existe ou, ce qui revient au même, sans 
que la limite 
existe. On peut même faire en sorte que l’expression entre parenthèses tende vers 
l’infini ; exemple : q n =■-= [n log n] pour n ^ 3. 
