Mais la réflexion principale que suggère l’étude du mémoire 
de M. de la Vallée Poussin, c’est que le fait de voir réapparaître 
1 — C dans le cas des diviseurs premiers paraît être intime¬ 
ment lié au hasard que la constante C figure dans la relation (7). 
Je fus donc fort étonné quand je réussis tout dernièrement à 
démontrer le théorème suivant (IV), qui forme le premier 
résultat du mémoire actuel. 
S 3. 
Théorème IV. — Soit q une classe quelconque de nombres 
entiers positifs tels que le nombre * (x) des q ^ x satisfasse à la 
relation 
(14) 
On a alors 
*(*) 
x 
logo? 
(1-C) 
X 
log X 
^ (1 — C) X (æ). 
En d’autres termes : 
Si l’on divise xpar tous les q g x, /a moyenne arithmétique 
des parties fractionnaires de ces quotients tend , pour x = oc, vers 
une limite, et cette limite est 1 — C. 
Avant de démontrer IV, je rappelle le théorème de M. Axer (*) : 
Théorème V. — Soit f (n) une fonction numérique telle que 
et 
£f(*) = O (x) 
n —1 
£ \f(n)\=0(x). 
n — ï 
(*) Axer ( loc. cit.), Landau ( loc . cit., pp. 130-136). D’ailleurs le lecteur n’a pas 
besoin de consulter ces mémoires pour connaître les démonstrations de V; car 
j’établirai plus bas un théorème nouveau (VIII), qui comprend V comme cas 
particulier. 
