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point /imite fini . Le nombre x(x) des q fg x est donc fini . 
Supposons que 
où w (x) est une fonction positive et non décroissante (*) à partir 
d’un certain x et telle que 
( 16 ) 
Alors on a 
lim w(fLx) j 
x = oo w(x) 
X) p (“) ~ (i— c ) 
En d’autres termes : 
Si l’on divise x par tous les q fg x, la moyenne arithmétique 
des pai'ties fractionnaires de ces quotients tend, pour x = oo , 
vers une limite , et cette limite est J — C. 
l 
Exemples : iv (x) = log x (théorème IV) ; w (x) = - 
(théorème VI). 
Pour éviter des répétitions, je ne démontrerai (au § 5) qu’un 
théorème (IX) encore plus général, à plusieurs égards, que VII. 
Mais avant d’y procéder, il faut développer une généralisation 
(VIII) du théorème V de M. Axer et un autre lernrne; tel est 
l’objet du § 4. 
(*) J’entends par cela qu’il existe un $ tel que, pour 
5 ^ ^ < x%, 
l’on ait 
0 < w(c Ci) ^ wfa). 
