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S 4. 
Théorème VIII. — Soit q une classe infinie de nombres positifs 
sans point limite fini; on peut les ranger par ordre croissant : 
Supposons que le nombre x (x) des q n ^ x satisfasse, quand e 
diminue jusqu 9 à 0, à la condition 
lim limsup x(ea?) Q 
£ = 0 X = 00 X (æ) 
Alors, pour toute fonction numérique f(n) satisfaisant aux 
relations 
Aoc) 
f(*)= 2/’(«) = <*(*)) 
ÇL n ^x n =1 
et 
X(OC) 
G (*) = 2 i r(«) i =. £ ! r(«) i = o(x(*)> 
g n n=i 
on a 
Remarques préliminaires. — Avant d’aborder la démonstration, 
commençons par discuter ce que signifie (17). Pour cela, nous 
tiendrons compte du seul fait que x (x) est une fonction non 
négative, non décroissante et tendant vers l’infini. (Nous laissons 
de côté* qu’elle égale toujours un nombre entier.) Ces propriétés 
de x(x) — sans encore introduire (17) — prouvent que la 
quantité 
( 18 ) 
lim su p x (ex) 
1- i 
X = 00 x ( x ) 
