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où s > 0, n’augmente pas quand s décroît; en effet, pour 
0 < e 1 < e 2 , x ^ q { , on a 
d’où 
* (SiÆ) < xfeff) 
X (X) = x(x) 
lim sup x (e^) ^ liin sup x (e 2 x) 
x = oc x (x) x == oo x (a?) 
D’ailleurs, pour 0<e|g|l, l’expression (18) est évidemment 
^ 0 et 1. Le premier membre de (17) existe donc certaine¬ 
ment, et il est Sg 0 et g 1 ; or (17) suppose qu’il est précisé¬ 
ment 0. Cela veut dire : 8 étant donné, il existe un r\ (8) positif 
tel que 
lim sup x (r,x) 
- ( , < à; 
x = CO X (x) 
donc, pour x ^ ? = 5 (8), 
(19) 
X (■',£) 
x (#) 
< 8 . 
Il en résulte évidemment : Pour toute fonction 2 de x, posi¬ 
tive à partir d’un certain point, et telle que 
(20) z = 0 (, x ), 
on a 
( 21 ) 
x(a).<=o(x(*)^ 
En effet, 0 > 0 étant donné, choisissons r\ === (8) > 0 et 
; = £ (8), de façon que, pour x g Ç, l’inégalité (19) soit rem¬ 
plie. Choisissons maintenant, en vertu de (20), £' £■ (8) ^ 
tel que, pour x gîiÇ', 
0 < z ^ rix. 
Alors, pour x SÇ',.... 
*(*) < x (w) 
x (x) ~ X (x) 
ce qui prouve (21). 
