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En substituant (31) et (32) dans (30), on trouve, pour x 
ù 
"K J 
O 
g Ax(8æ) + 48x(æ); 
il en résulte 
(33) 
lim sup 
x = oo 
< A 
lim sup x(8æ) 
x = oo x(x) 
+ 48. 
Ceci est prouvé pour tous les 8 positifs et inférieurs à 1. Le 
second membre de (33) ayant, par hypothèse, la limite 0 
pour 8 = 0, on obtient 
ce qu’il fallait démontrer. 
Lemme. — Soit q une classe de nombres satisfaisant aux con¬ 
ditions du théorème VIII. Soit w (x) une fonction positive et 
non décroissante à partir d’un certain x. Soit 
(16) 
lim w($x) 
x = oo w (x) 
Alors, w (x) étant défini pour tous les q, 
w(q) w(x) x(x). 
q^x 
