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Démonstration. — Sans restreindre la généralité, on peut 
supposer, pour la démonstration, w (x) défini, positif et non 
décroissant pour x > 0. 
On a, en premier lieu, 
£«>(?) 
Q00 q^x 
= iv (x) x(x), 
Yw (a) 
lim sup *g x 
x = oo iv (x) x (x*) 
11 ne reste donc à démontrer que 
< 1 . 
lim inf J> (?) 
> 1 . 
X = cc w{x) x(x) 
Soit e un nombre positif etc 1. On a 
donc 
q^x 
ix<qskx 
^ w (7) H w(eæ) (x(x) — x(e#)), 
où, pour æ ^ </i, 
gjc > W (£X) 
iü(æ)x(æ) = w(æ) 
x (sx)\ 
x(^; ; 
puisque, d’après (16), 
lim w (ex) 
X = OC w (x) 
lim inf 
I] w (ï) 
q^x 
X = 00 mj(æ) x(æ) 
>1 — 
lim sup 
X = oc 
*(eaQ 
*(*) 
on obtient 
