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ment (*) une conséquence de (35), (36) et (16), et que de même 
(35) est une conséquence de (34), (36) et (16).] 
Alors 
De ce théorème IX découle en particulier ce qui suit : Si — 
dans les hypothèses faites — 
existe, alors 
1 i ni 
x = oo 
£e(; 
q'g^oc 
*i(«) 
X = oo x 2 (x) 
existe aussi et égale l’autre limite, et réciproquement. Cela ren¬ 
ferme YII comme cas particulier, pour q" = n. 
Démonstration. — Sans restreindre la généralité, on peut 
supposer w (x) défini, positif et non décroissant pour æ > 0. 
Désignons les q 1 et les q" indifféremment par qjn = 1,2,...), 
rangés par ordre croissant et chaque élément multiple avec sa 
multiplicité ; d’ailleurs, un nombre pouvait figurer plusieurs fois 
déjà dans chacun des ensembles q 1 et q". Si x[x) est le nombre 
des q ^ x, on aura 
* 0 ») = 
Posons maintenant 
f(n) = w (q n ), si q n est un q\ 
f(n) = — 1, si q n est un q". 
(*) En effet, de (36) et (16) résulte : 
lim sup x\ (&x) lim sup x 2 (sæ) 
X==cc Xi (x) X==OQ X 2 (a?) 
