Il n’existe aucune relation linéaire entre les diverses quan¬ 
tités (13), quand on donne au système (tc) toutes les détermi¬ 
nations (n), (tu"), cela résulte du fait que les fonctions £ 
sont supposées n’avoir aucune relation du premier degré quand 
(tc) est fixé, et qu’elles ne peuvent pas en avoir davantage 
quand (u) varie [d’après une remarque précédente sur les for¬ 
mules (12)]. Par suite, le nombre total des fonctions S. inter¬ 
venant dans les équations (15) ne peut pas être supérieur à r; 
il ne peut pas non plus être inférieur à r, puisque P 4 ... P r sont 
linéairement indépendants. Les diverses fonctions S. 7rl ... 
intervenant pour (u) = (tu'), (tu") ... dans les formules (15) 
constituent ainsi, d’après l’énoncé du paragraphe III, un système 
p[... p'r 
équivalent à p l ... p r . 
Par application de la formule (12), nous avons des équa¬ 
tions 
V( p ) = 
pour (tt) = (tu'), (tu") ... 
Les premiers membres, à part le facteur 8 e , sont les trans¬ 
formées P' des p' par la substitution fondamentale (1); les 
seconds membres sont homogènes pour les séries de termes (11) 
et sont, de plus, linéaires par rapport aux quantités p , ou 
encore par rapport aux quantités p'. On a donc par (16) des 
équations 
S s P h = ^hi.p'i + + r \hrPr> 
(/l = 4, ü 2...r), 
où y \ hl ... y\f ir sont homogènes des mêmes degrés, séparément 
par rapport aux séries de termes (a) ... G,, (a); les degrés 
dont il s’agit seront désignés par tu{ ... ^ (*), parce qu’ils 
(*) Nous écrivons tz\ ... au lieu de 7cf ..., afin de simplifier l’écriture. 
