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D’après les équations (4), (5), la fonction 
W (a, x) 
U (a ). V (x) 
se reproduit sans aucun changement après la transformation 
inductrice (S), c’est-à-dire quand on effectue sur les éléments 
x, a les transformations correspondantes (1) et (2). Dans le 
cas particulier de 
au u = 1, au v = 0 (v 4= w)> 
nous avons par les formules similaires (3), (,3 f ) : 
%*(<*} =*> %h(à) = 0 (j=M), 
et le premier membre de l’équation (5) devient 9 (xv u ). Donc : 
La fonction 9^ (xv u ) s'obtient en remplaçant les quantités au u 
par l’unité et les quantités au v par zéro (ü '4= v) dans une frac¬ 
tion irréductible 
(a,x) 
(a) . \ (x) 
qui n’est pas altérée par la transformation (S). 
Dans les conditions de l’énoncé précédent, le numérateur 
W (a , x) et le dénominateur U (a) Y [x) de la fraction irréduc¬ 
tible (6) sont des sommes Sep, homogènes ou non, de fonctions 
invariantes cp de même poids tu , dépendant seulement des séries 
de variables (xi) ... (xn) et des coefficients des formes linéaires 
a\ x , ... an x . Toute pareille somme 2<p est une somme de pro¬ 
duits, telle que 
si (=b aii ... an n ) K . (dt xL ... xn n ) K ' n 
les exposants k, k' (entiers positifs ou nuis) ayant la relation 
k — k! = k. 
