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On déduit de là que U (a) et Y (x) sont des sommes de fonc¬ 
tions invariantes de poids constants; ces poids constants sont 
égaux et de signes contraires pour U et Y, à cause de la for¬ 
mule (10) : nous les désignerons par m et — m. 
Les seules fonctions invariantes des quantités (al)'... (an) 
ou des quantités (ùci) ...\xn) sont les puissances entières 
et positives du déterminant (=t al ... an n ) ou du déterminant 
(dz xi 1 ... xri n ), sauf des facteurs constants. 
Donc U (a) et Y (x) s’écrivent 
IJ (a) = G . (=h ai i ... av n ) m , 
V (x) = C d (àz'OJli ... xv n f\ 
m étant un nombre entier, positif ou nul, et 0, C A étant des 
constantes. De là : 
U (a) y (x) = CC 4 - (± a \ œi ... av xn ) m . (11) 
En remplaçant la notation Q par CC^Q, on voit d’après les 
équations (8) et (il) que si la transformation linéaire (S) des 
variables (x) laisse inaltérée la fraction irréductible (6), on a : 
W ( ci , x ) Q (jxu x f) 
U (a ). V (x) (± a 1 ^ ... cm xn ) m ’ 
Q (au xv ) étant un polynôme en produits et puissances des n 2 
quantités au xv (u, v = 1, 2 ... n). Le polynôme Q est du reste 
homogène ou non, par rapport aux séries de quantités 
(al) ... (an), (xi) ... (xn). 
Remarque. — A l’occasion de la détermination des facteurs 
U et Y dans le produit UV, nous signalerons la propriété 
suivante qui ne semble pas avoir été énoncée : 
Si deux polynômes g, g', dépendant simultanément des 
coefficients de formes algébriques et de variables, sont premiers 
entre eux et si leur produit gg' se retrouve multiplié par un 
facteur \ (a) après la transformation (S), ces deux polynômes 
sont des sommes de fonctions invariantes de poids constants tz 
u' ; on a alors X (a) =. § T+5Î ". 
