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Reprenons maintenant la considération des transformations 
induites (T) k paramètres G (a) rationnels. Les résultats des 
paragraphes II et III se combinent de la manière suivante : 
A tout couple de nombres i, j distincts ou non, compris 
dans la suite 1, 2 ... r, il s’associe une fonction rationnelle 
Q (P^xv) 
(—t- æ1,£1 . . . xvi) 
qui se réduit à G ?;/ (xv u ) quand on suppose au n = 1, au v = 0 
pour u Jg v, u y v —1,2... n. On a par suite : 
8ÿ (XVy^ 
Q (XVu) 
(± æi i ...æn n f i 
Si on change les lettres xv u en a MÜ , on obtient 
( a wv) g w Q 
à cause de 8 = (± a u ... a ww ) ; l’exposant entier m (positif ou 
nul) et le polynôme Q varieront en général avec i , j. 
On peut trouver un nombre entier s, positif ou nul, tel que 
les r 2 produits 8 £ %- (a) soient des polynômes G' (a). Donc : 
Toute transformation linéaire (T) à paramètres rationnels y 
induite sur des éléments abstraits et linéairement indépendants 
Pj ... p r , s'exprime nécessairement par des formules 
Rl = Gh (a) Pi +'••• + G [ r (a) . p r , 
0 e P r = G^ (a) . Pi -j- ••• + Kr ( a ) Vr> 
dans lesquelles les fonctions G 7 (a) sont rationnelles entières par 
rapport aux paramètres a de la transformation inductrice (S) 
des variables x. 
