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de l’ordonnée d’une ligne polygonale par un polynôme de 
degré n, est celui de 1 : n exactement. 
C’est à la solution de cette question qu’est consacrée la majo¬ 
rité de la seconde partie du mémoire, et celle-ci, à mon avis, 
mériterait déjà le prix à elle seule. 
Je ne fais cependant pas moins de cas de la première partie 
dont j’ai parlé tout à l’heure et j’ai encore beaucoup d’estime 
pour la troisième et dernière, consacrée aux développements en 
série de polynômes trigonométriques , c’est-à-dire de la forme 
T n = cos n arc cos x. 
Mais ces parties seraient trop longues à analyser, il faudrait 
reprendre tout au long les énoncés des nombreux théorèmes 
enchaînés par l’auteur et entre lesquels il est difficile de choisir 
sans mutiler sa pensée. Voici seulement ma conclusion : 
Par le nombre et la valeur des résultats nouveaux qu’il 
contient, le mémoire présenté à l’Académie est le plus impor¬ 
tant qui ait été fait jusqu’ici sur le développement des fonctions 
réelles en séries de polynômes. J’ai l’honneur de proposer à la 
Classe de lui décerner le prix et je fais des vœux pour que son 
impression puisse se faire le plus tôt possible. » 
M. Demoulin, second commissaire, s’est rallié à ces conclu¬ 
sions; elles sont adoptées par la Classe. 
L’ouverture du pli cacheté fait connaître comme auteur : 
M. Serge Bernstein, à Charkow (Russie). 
