bole et la génération d’une quartique qu’il appelle parabole 
virtuelle et dont il est parlé dans plusieurs lettres échangées 
entre Saint-Vincent et Huÿgens. 
Le livre de la parabole contient de nombreuses propriétés 
segmentaires. On peut y signaler des progrès importants par 
rapport à Apollonius, notamment en ce qui concerne la théorie 
des diamètres et celle du foyer. La quadrature d’un segment 
parabolique est obtenue d’après Archimède, au moyen de 
lemmes un peu différents de ceux du géomètre syracusain. 
Dans le livre de l’hyperbole, pour lequel Grégoire avait une 
certaine prédilection, il y a à signaler particulièrement les pro¬ 
priétés des asymptotes, les hyperboles conjuguées, des rela¬ 
tions entre une hyperbole équilatère et une parabole dont l’axe 
coïncide avec une asymptote de l’hyperbole, et la quadrature 
des segments hyperboliques. Considérant l’aire limitée par une 
asymptote, deux ordonnées et la courbe, l’auteur établit le 
théorème suivant : Si des ordonnées successives AB, A'B f , A n B",... 
déterminent des trapèzes curvilignes ABB'A', A f iVB”A",.'.. de 
meme aire, ces ordonnées sont en progression géométrique. On 
voit immédiatement que cette proposition ne diffère pas essen¬ 
tiellement de celle qui intervient dans la démonstration élémen¬ 
taire de la quadrature d’un segment hyperbolique, et il est 
étonnant qu’il n’est pas question de logarithmes. 
Ce livre se termine par un chapitre très curieux, intitulé : 
Symbolisation de la spirale d’Archimède et de la parabole. On 
sait que la spirale est décrite par un point qui se meut unifor¬ 
mément sur une droite pendant que celle-ci tourne uniformément 
autour de l’un de ses points supposé fixe. La parabole peut égale¬ 
ment être engendrée par la combinaison de deux mouvements 
uniformes : étant donnés deux axes rectangulaires OX, OY et 
une ordonnée indéfinie AB, donnons un mouvement uniforme à 
un point C sur OX, et à un point D sur AB; fintersection de là 
droite OD avec la parallèle à OY par C engendre une parabole. 
De ces générations, Grégoire déduit des rapprochements entre 
les propriétés des deux courbes, par exemple l’égalité des arcs 
correspondants. 
