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système qui soit de la quatrième sous-classe : mettons le sys¬ 
tème complet (1) sous la forme résolue : 
(4) 
— Y* = 0 
d'Xi 
et supposons r > 1. On voit immédiatement que ce système (4) 
appartient à la première sous-classe (système jacobien) ; soit J 
un multiplicateur de Jacobi de ce système (4). Considérons 
maintenant le système 
où -0- est une fonction de ... x n ne satisfaisant pas au système 
(4); ce système admet le multiplicateur de Jacobi en effet, 
les équations (2) peuvent s’écrire 
et sont satisfaites, puisque, par hypothèse, J est un multiplica¬ 
teur de Jacobi de (4). Mais nous avons vu (*) que le système (5) 
admet le multiplicateur généralisé J-O -7 ; pour se convaincre que 
cette dernière expression n’est pas un multiplicateur de Jacobi, 
il suffit de remarquer que le rapport de ce multiplicateur et de 
JLf -1 devrait être une solution ou invariant de (5) et par consé¬ 
quent de (4) ; or, par hypothèse,-Cf n’est pas une solution de (4). 
Le système (5) appartient donc à la quatrième sous-classe. C’est 
dans ce sens précis qu’il faut comprendre le théorème (Satz, 14) 
énoncé par S. Lie à la page 505 de son mémoire cité antérieu¬ 
rement (**). 
(*) Th. De Donder, Sur le multiplicateur généralisé. (Bull, de VAcad. roy. de Bel¬ 
gique [Classe des sciences], 1910. Voir n° 2 de ce mémoire.) 
(**) S. Lie, Allgemeine Théorie der partiellen Differentialgleichungen erster 
Ordnung. (Zweite Abhandlung.) (Math. Annalen , pp. 464-557, Bd XI, 1877.) 
