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3. Lie a fait en outre (page 504 du même mémoire) une 
remarque qui mérite aussi d’être précisée : Si la fonction -0- 
considérée dans les équations (5) est identique à 
j X} . . . Xf 
• • ? 
X* . . . \ r r I 
le multiplicateur de Jacobi ^ du système (5) sera ou un multipli¬ 
cateur de Jacobi ou un multiplicateur généralisé du système (1) ; 
en effet, tout multiplicateur de Jacobi du système (4) peut 
s’écrire, en conservant les notations du n° 4 de notre mémoire 
déjà cité Sur le multiplicateur généralisé : 
d(fl---fn-r) 
d(x r+i ...x n ) 
il en résulte que tout multiplicateur de Jacobi du système (5) 
pourra s’écrire 
d(x r+l ...x n ) 
Xï ... xr 
X I Vf 
y* • • • A.|* 
or, on a vu antérieurement que cette expression comprend tous 
les multiplicateurs de Jacobi ou tous les multiplicateurs géné¬ 
ralisés du système (1), suivant que ce système est de la première 
classe ou de la deuxième classe. 
Les équations (6) représentent donc les conditions néces¬ 
saires pour que ^ soit ou bien un multiplicateur de Jacobi, ou 
bien un multiplicateur généralisé du système (1); ces condi¬ 
tions (6) sont aussi suffisantes. Si nous posons J9 -1 == P, les 
équations (6) deviennent : 
a(P-e-) y . a(PQ-Y?) 
dx p fa dx t 
(7) 
p = 1 ... r 
