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Pour la géométrie, l’idée possible unique est celle de la gran¬ 
deur abstraite, et l’évidence, où l’impossibilité de concevoir 
plusieurs géométries ou sciences de l’espace (impossibilité 
prouvée par l’échec même des tentatives que l’on a faites pour 
cela), provient de ce qu’on ne peut construire qu’une seule 
géométrie parce qu’on ne peut construire qu’une seule mathé¬ 
matique. 
Si on le conteste, notre argumentation sera simple : pour 
douter de la géométrie, nous avons encore à attendre qu’on 
nous présente deux définitions différentes de l’espace, puisque 
la géométrie est la science de l’espace. Mais d’ailleurs, nous ne 
cherchons pas à engager ici une discussion qui dépasserait le 
cadre de cette Note ( 1 ). Sans même prendre parti, et restant 
P) A considérer la Note actuelle comme analyse de notre ouvrage, nous tenons 
cependant à mentionner le travail consacré dans celui-ci à la Métagéométrie (dans 
une annexe de la Lettre qui précède les Leçons). Nous pensons y avoir mis avec 
clarté en évidence ce qu’il nous est impossible de ne pas considérer comme des 
erreurs de principe et d’observation de ce mouvement d’idées. 
Voici, à cet égard, quelques remarques simples : 
1° La Géométrie (que la Métagéométrie ne définit pas, non plus qu’elle ne se 
définit d’ailleurs elle-même, ce qui suffirait cependant déjà à tout éclaircir) est la 
science de l’espace. Pour faire douter de la nature de son objet, il faudrait donner 
à choisir entre plusieurs définitions possibles de cet objet. Or personne, et la 
Métagéométrie elle-même, n’a jamais pu donner de l’espace qu’une seule définition 
(celle de la géométrie analytique ou de l’espace euclidien); 
2° La Métagéométrie ne fait croire à plusieurs espaces, qu’en confondant la 
science de la ligne droite avec la science de l’espace ; 
3° Elle emprunte ses éléments nécessaires à l’expérience. Or, son point de vue 
expérimental est fautif par insuffisance. Elle considère, en effet, un seul élément : 
la distance (fil tendu entre deux points). Or, -un second élément existe, aussi 
nécessaire : la direction ou orientation. (Preuve : la simple expérience du fil tendu 
entre les doigts et qui, restant même réalité physique (distance), peut exister de 
plusieurs façons à partir d’un même point. Il y a donc un second élément spécifique 
aussi nécessaire que la distance elle-même : c’est l’orientation ou direction.) Ceci 
reviendrait à dire, sous une autre forme, qu’il serait aussi illusoire de vouloir 
fonder la Géométrie sur la seule distance et sans la direction, que de construire 
la Mathématique par le seul module de la grandeur, et en ignorant Xargument. 
C’est le second élément fondamental (la direction), méconnu par la Métagéométrie, 
1912. - SCIENCES. 
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