Analyse mathématique. — Remarque sur une série double, 
par Paul NOAILLON, docteur en sciences physiques et mathématiques (*). 
La série double à termes tous finis et positifs : 
où 
S = E M, 
’m = 0, 1, °2 ... oo\ 
n = 0, 1 , 2 ... oo J 
Um,n 
1 
1 -j- (m 4 — xn 4 ) 2 
x > 0, 
présente une particularité remarquable : cette série de forme 
très simple est convergente ou divergente selon la valeur de x, 
et cela selon une loi assez singulière : 
Dans tout intervalle , si petit qu’il soit , on peut trouver des 
valeurs de x qui rendent la série divergente, et d’autres valeurs 
qui la rendent convergente (**). 
Démonstration . 
1° 11 est évident que dans tout intervalle existent des valeurs 
de x de la forme 
p et q étant des nombres entiers. 
Or, une telle valeur de x rend S divergente. En effet, dans 
ce cas, la série des termes positifs u m n renfermera une infinité 
de termes égaux à l’unité : tous ceux dont les indices (m, n) 
satisfont à la relation 
ou 
m 4 — xn 4 = 0 
m p 
n q 
(*> Présenté par M. Ch.-J. de la Vallée Poussin. 
(**) Nous supposons x réel et positif. 
