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2° J1 est évident aussi que dans tout intervalle existent des 
valeurs de x de la forme 
X = a 2 , 
a étant un nombre positif rationnel 
a = 
Q 
qui ne soit pas le carré d’un nombre rationnel. 
Nous allons voir qu’une telle valeur de x assure la conver¬ 
gence de S. 
On a 
1 
Uyi-t *-> 
mais 
1 -j- (m 2 — n 2 oCf . (m 2 + n2oL ) 2 ’ 
m 2 Q — /< 2 P 
m 2 — n 2 cf. 
Q 
p , 
et, comme on suppose que a = ^ n’est pas le carré d’un nombre 
rationnel, on a 
m 2 Q — n 2 P 4= 0 
et même, puisque m, n, P, Q sont des entiers, 
| m 2 Q — ?i 2 P | 4 1. 
^ m,n ~ ~ 
Donc 
4 + ^ m2 + n?a ) 2 
Or la série double 
m, n 
1 + Â ,( m2 + w 2 ° 0 2 
U 2 
où a est un nombre positif, est certainement convergente. 
Donc, a fortiori , S est convergente. C. Q. F. D. 
