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des x et de t. Pour que les n fonctions ^ ? n des x et de t 
forment une solution aux variations de (1), il faut et il suffit 
que la transformation 
df_ 
dXi 
E. 
( 2 ) 
forme avec la transformation A/ un système jacobien, c’est-à- 
dire qu’on ait 
AB /* = B A f. 
ou 
ou encore 
AÇ, = BX <f 
3?t 3Çi 3X^ „ 
“- "T ”7 “ 
3.r ft dt dXfr 
i = i ... n 
i — 1 ... r?. 
Ces conditions sont équivalentes (*) à celles qui expriment 
que !*,• est cogrédient à Sa?,-, dans la théorie des invariants inté¬ 
graux. 
Effectuons le changement des variables dépendantes 
æ i = æ i (x' l ...Xn, t ), (3) 
ou inversement 
•=== Xi {X\ •. • x nf 
La transformation infinitésimale (1) devient 
i = 1 ... n 
i = 1 ...??. 
kr=—+ ÿi.—|xj. 
' dt t dx ' 
(iy 
ou 
x; = 
3 ^ ^ dXi 
—r + >/ x > 
3 1 T dx h 
f(x, f) = f ! (x', t) ou plus simplement /* = f; 
le crochet indique qu’on remplacera les x en fonction des x ' et 
de t. 
On voit aisément que 
a/'= Ay\ 
(*) Th De Donder, Étude sur les invariants intégraux. (Rendiconti Gircolo Mate- 
matico di Pater mo, t. XV, 1901. Voir spécialement le n° 35 de ce mémoire.) 
