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2. Théorème. — Étant données n fonctions ... £ n des x 
et de t, pour que les 
n dx[ 
y k ^ 
L i dX h ' 
i = 1 ... fl 
forment une solution aux variations de (1)', il faut et il suffit 
que les Ç n forment une solution aux variations de (1). 
Le crochet a la même signification que plus haut. 
Démonstration. — Posons 
b 
( 2 )' 
Pour que £• (i = 1 ... n ) soit une solution aux variations 
de (1)', il faut et il suffit que 
ou que 
ou que 
A'B '{' = B'A T, 
A % = B'X^, 
dx'i 
dx h 
dxl 
dXi 
dx h 
ou, après quelques réductions faciles, que 
v, dx- 
7 K - 
i dx k 
(A?,-BX,) = 0. 
Le déterminant jacobien des x\ par rapport aux x k étant diffé¬ 
rent de zéro, il en résulte qu’il faut et qu’il suffit que les 
Ç,- forment une solution aux variations de (1). c. q. f. d. 
Extension . — Ce théorème s’étend aux solutions aux varia¬ 
tions p-upies de la transformation (1) ; par exemple, pour que 
les 
p 
— 
3 (Xi Xfé) g 
i,k = 1 ... n. 
forment une solution aux variations 2-uples de (1)\ il faut et 
