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Analyse et géométrie. — Sur un problème relatif 
aux invariants intégraux, 
par Th. DE DONDER. 
§ 1. — Énoncé et signification géométrique 
DU PRORLÉME TRAITÉ. 
On sait que pour tout mouvement sans déformation dans ün 
plan euclidien les coordonnées rectangulaires x,y d’un point 
quelconque subissent la transformation 
i x' = a + x cos cp — y sin cp 
( y' = J) -g x sin cp -\- y cos cp, 
(O 
où x', y' désignent les coordonnées du point considéré après le 
déplacement rigide, défini par les trois paramètres arbitraires 
a , b et cp. A la transformation (1) correspond la transformation 
infinitésimale 
dx 
<* —r y 
dy 
P + yx 
= dt y 
( 1 ) 
où a, (3, y sont trois paramètres arbitraires et où dt est un 
accroissement infinitésimal donné à la variable auxiliaire t, 
qu’on pourrait appeler le temps ou l’instant initial. 
Considérons dans ce même plan une droite 
nx + vy + w = 0. 
Après la transformation (I), cette droite sera devenue une 
autre droite, dont nous écrirons l’équation comme suit : 
u'x 1 -b v’y 1 + iu’ = 0, 
ou, en vertu de (I) : 
x(u' cos cp -p v' sin cp) + y (— u' sin cp -f v' cos cp) 
+ ( u’a + v’b + w 1 ) = 0. 
