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où k (X, {jl) est une fonction arbitraire de X et de pi. Il en résulte 
que si l’on veut attacher un invariant intégral à un ensemble 
infini de droites , défini de cette dernière manière , il faut que le 
facteur K puisse être une fonction arbitraire des variables X et pu 
On vérifiera aisément que, parmi les invariants intégraux qui 
satisfont à notre problème, les invariants A 4 et A 2 seuls satisfont 
à cette nouvelle condition. Il n’existe pas d’autres invariants 
intégraux absolus que A ± et A 2 , puisque la condition : 
k = fonction arbitraire, comprend comme cas particulier : 
k = constante arbitraire. Nous dirons que et A 2 sont les 
seuls invariants intégraux intrinsèques du plan réglé. 
Ce théorème est dû à M. Cartan (*). La remarque que nous 
venons de développer nous a été suggérée par M. le Prof' 
Demoulin. 
Si l’on considérait k comme une constante numérique, un 
par exemple, le groupe (II) aurait une infinité d’invariants 
intégraux absolus renfermant des fonctions arbitraires, qui 
rendraient difficile la recherche des invariants intrinsèques A* 
et A 2 ; ce problème me paraît cependant intéressant, parce qu’il 
nous fait pénétrer aussi dans le domaine d’invariance attaché aux 
mouvements rigides d’ensembles infinis de droites. 
§2. — Invariants intégraux I-uples. 
Pour trouver les invariants intégraux absolus J-uples du 
système (2), on calculera d’abord, en vertu de ces équa¬ 
tions, où 
h = | A ï>u + bhv + CSw, 
(*) E. Cartan, Le principe de dualité et certaines intégrales multiples de 
l’espace tangentiel et de l’espace réglé. (Bull. Soc. math, de France, 1896, t. XXIV, 
pp. 140-177.) M. Cartan a considéré en outre d’autres déplacements : je me propose 
de reprendre cette question dans un autre mémoire consacré à l’optique géomé¬ 
trique. 
