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COMMUNICATIONS ET LECTURES. 
Analyse mathématique. — Sur l’unicité du développement 
trigonométrique (*), 
par Ch.-J. DE LA VALLÉE POUSSIN, 
professeur à l’Université de Louvain, membre de l’Académie royale de Belgique. 
s. — Soit une série trigonométrique quelconque dont le 
terme général tend vers 0 : 
00 00 
Il A n — 21 cos nx + Pn sin nx) 
o h 
et soit S n la somme de ses n premiers termes. 
La question de savoir sous quelles conditions cette série est 
la série de Fourier d’une fonction sommable a fait l’objet de 
travaux nombreux et importants (**). 
A ma connaissance, les conditions les plus larges obtenues 
postulent la convergence de la série, sauf pour des valeurs excep¬ 
tionnelles de x formant un ensemble réductible, et exigent que 
la somme de la série soit une fonction sommable et à oscilla¬ 
tion bornée en chaque point, sauf encore aux points d’un 
ensemble réductible. 
Ces conditions ont été obtenues par M. Lebesgue grâce à la 
notion d’intégrale définie que la science lui doit. Mais on peut 
aller plus loin. 
Nous nous proposons, en effet, dans cette note, d’établir le 
théorème suivant, dont la généralité est si grande qu’elle peut 
paraître à première vue paradoxale. 
(*) Un résumé de cette note a paru dans les Comptes rendus de l’Académie des 
sciences de Paris (4 novembre 1912). 
(**) Encyclopédie des sciences mathém. pures et app., t. Il, vol. 1, fasc. 2, 
p. 228 (article de M. Fréchet). 
